Родился в 1864 году в семье мелкого служащего Нижегородского губернского земства. Окончив в 1890 году медицинский факультет Московского университета, С.С. Вознесенский поступил на службу в Нижегородскую психиатрическую лечебницу. Вознесенский был врачом-гуманистом, просветителем и революционером, с 1893 года он находился под негласным надзором полиции. В 1894 году С. С. Вознесенский перешёл на работу в Ардатовское уездное земство и стал врачом выксунского врачебного участка. Очень много сделал для улучшения медицинского обслуживания Выксы и окрестных деревень, добился открытия в 1896 году в Выксе земской больницы. С. С. Вознесенский энергично включается в революционную борьбу за права рабочих, их просвещение и развитие. В 1898 году по его инициативе была открыта народная библиотека-читальня, вокруг которой формируется постоянный кружок рабочих, служащих и интеллигенции.  Одна из улиц нашего города носит его имя.

Ушел из жизни в 1909 году.